本构方程

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本构方程(constitutive equation),反映物质宏观性质的数学模型。又称本构关系(constitutive relations) 。

简介 编辑

通常把应力和应变率,或应力张量与应变张量之间的函数关系称为本构方程
归纳宏观实验结果,建立有关物质的本构关系是连续介质力学和流变学的重要研究课题。最熟知的本构关系有胡克定律(Hooke's law)、牛顿粘性定律(见粘度)、理想气体状态方程、热传导方程等。
建立本构关系时,为保证理论的正确性,须遵循一定的公理 ,即所谓本构公理 。例如纯力学物质的本构公理有三:确定性公理(物体中的物质点在时刻t的应力状态由物体中各物质点的运动历史唯一确定)、局部作用公理(物体中的物质点的应力状态与离开该物质点有限距离的其他物质点的运动无关)和客观性公理(物质的力学性质与观察者无关)。若考虑更复杂的情况,本构公理的数目就相应增多。求解连续介质动力学初边值问题,本构关系是不可少的;否则就无法把握所研究连续介质的特殊性,在数学上表现为控制方程不封闭,其解不能唯一确定。建立物质的本构关系是流变学的重要任务,可通过实验方法、连续介质力学方法和统计力学的有机结合来完成。然而,尚未找到一个普适的本构关系,需根据研究对象和流动形态选用合适的本构关系。理性力学除对本构关系进行极为一般的研究外,还对弹性物质、粘性物质、塑性物质、粘弹性物质、粘塑性物质、弹塑性物质以及热和力耦合、电磁和力耦合、热和力以及电磁耦合等物质的本构关系进行具体研究。
本构方程十分复杂,适合研究生以上学历、对科学有积极探究精神的人进行研究其性质。对普通生活暂时无太大的价值。

正文 编辑

连续介质力学中描述特定物质性质的方程。它建立了特定连续介质的运动学量、动力学量、热力学状态之间的某些相互关系。本构关系随所考虑的具体介质和运动条件而变。
质量、动量、能量守恒律对所有物质都适用,连续介质力学以各种微分方程,如连续方程、运动方程、平衡方程等为主要研究手段。通常,这些方程中的动力学量、运动学量(有时还包括热力学量),都是未知函数,其数目多于体现上述守恒律的方程的个数。为了求解反映守恒律的方程组,添加了本构方程,使自变量的数目同总的方程数目相等。所以,本构方程是解决连续介质力学问题中的质量、动量、(有时加上)能量守恒定律的必要补充。
客观上存在的流体、固体多种多样,运动的环境也千差万别,为了对问题进行深入的研究,本构方程只能反映介质性质的主要方面,否则使问题过于复杂,理不出头绪。本构方程规定的介质是客观物质的力学模型。本构方程必须反映介质和运动环境的主要特点,但又要求简单,使所列出的方程便于进行数学计算。
常用的并且是最为成熟的用于连续介质力学的本构方程有下列三组:

无粘流体

(1)粘度为零,即η=η┡=0,ηη┡为粘度和第二粘度;(2)应力张量只是压力p;(3)密度均匀不变,ρ(xyzt)=常数,或是在密度显著变化时采用常比热完全气体(见流体力学的能量方程)的模型:定容比热容сv=常数,定压比热容 сp=常数,p=ρRT,式中T为热力学温度,R为普适气体常数。单位质量内能e=сvT,熵SS0=сvln-γ,式中γ为сp/сv,S0为某一约定状态的熵值。

牛顿流体

(1)粘度η=η(Tp),函数的具体形式随流体和温度范围而变;
(2)应力张量的一部分是压力p,此外,还加上同粘性和变形率(见流体力学)有关的张量,其分量为
公式 公式
式中Up(U3,U3,U3)为流速U的三个分量;
(3)rho;(x,y,z,t)=常数,或任何形式的具体状态方程f1(p,rho;,T)=0,f2(e,p,S)=0。

完全弹性体

(各向同性)是固体力学中发展得最为成熟的部分,在直角坐标系中它的本构方程是应力张量的六个分量
流速U的三个分量 流速U的三个分量
σxx,σyy,σzz,σxy,σyz,σzx同应变张量的六个分量
六个分量 六个分量
exx,eyy,ezz,exy,eyz,ezx之间的线性关系,由胡克定律表述 式中E是杨氏模量,v是泊松比,同粘性流体相比,这里既没有热力学量,也没有对时间的导
胡克定律表述 胡克定律表述
数。温度升高会使金属膨胀而产生应力,要考虑这个效应,就应补充σij=?(T-T0),式中的常数?和线膨胀系数有关。
20世纪20年代开始构造塑性力学的本构方程,这远比各向同性完全弹性体复杂,已经有很多成功的模型, 然而仍待做更多的研究。从50年代起对1300℃以上的空气、动载荷下土壤(由土、空隙和水组成,又分软土、硬土等)做了大量研究。对空气做得很成功,对土壤(尤其是硬土)至今尚待完善。燃烧产物的本构方程,蒸气和水、煤粉和空气、煤块和水等等两相共存混合物的本构方程,不断出现的新型材料的本构方程,都是近代很受重视的研究对象。
建立本构方程时既要有理论上的推理、论证,还要有实验测定的若干常数。在研究和使用本构方程的长期过程中,人们致力于划清适用条件,阐明理论模型同实际的符合程度。
同一种物质,在不同的条件下又可以针对所考虑的那一类条件,列出适用于该类条件的本构方程。例如,讨论水池中波浪,可以用密度rho;=常数,η=0,应力张量只是压力这一流体模型。但讨论水中声音传播时则必须考虑密度的变化加上绝热过程的条件。金属在载荷小、变形小的条件下可以看作各向同性弹性体;金属在载荷过大、变形过大条件下会呈现塑性以至断裂,这时,胡克定律就不适用了。
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科技 理学 物理学